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设函数F(x)在区间(0,+∞)上可导,且F'(x)>0,F(x)=∫xF(u)Du(...

因为转化过后的式子是对u积分,而被积函数f(1/x)是关于x的函数,与u无关,所以可以看成是一个常数,所以∫(1到1/x) f(1/x)du=f(1/x)*u (u取1到1/x)=f(1/x)*(1/x-1)=1/x*f(1/x)-f(1/x) 下面说一下正负号分析,当0<x<1时,1/x>1,所以积分上界>积分下届,再看被积函数,u的取值范围为积分上下界,即(1,1/x),因为f(x)的导数>0,所以f(u)<f(1/x),所以f(1/x)-f(u)>0,所以F(x)的导数>0,当x>1时可以类推.以上是我个人的想法,可能有不够严谨的地方,仅供参考.

因为f'(x)>0决定了f(x)的单调性,也就是当f'(x)大于0时f(x)单调增加,因为当0U,所以f(1/x)>f(U),因为F'(x)的上下限严格从小到大,故F'(x)>0,另一个已然.打字太麻烦了,,,,

由题意∫[f(0),f(x)] g(t )dt =x^2*e^x即∫[0,x]g[f(x)]df(x)=x^2*e^x(由于f(x)的反函数为g(x))得∫[0,x]xdf(x)=x^2*e^x即xf'(x)=(x^2*e^x )'=x(x+2)e^xf(x)=(x+1)e^x-1 楼上的显然不对 左边求导右边都不动.

证明:f(x)在x>=0连续,在x>0可导,f'(x)单调增加 所以:f''(x)>0 设g(x)=f(x)/x 求导:g'(x)=f'(x)/x-f(x)/x^2=[xf'(x)-f(x)]/x^2 设h(x)=xf'(x)-f(x) 求导:h'(x)=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x)>0 所以:h(x)是单调递增函数 h(x)>h(0)=0-f(0)=0 所以:g'(x)=h(x)/x^2>0 所以:g(x)是单调递增函数 所以:f(x)/x在x>0时是单调递增函数

设 g(x)=f(x) e^(-x), x>=0 |f'(x)| f'(x) - f(x) g'(x)=(f'(x) - f(x))e^(-x) ==》 当x>0时,g(x) f(x)

设辅助函数f(x)=f(x)(1-x)^3.知:f(x)在区间[0, 1]满足洛尔定理的条件.故存在ξ,(0 评论0 0 0

等式两边对x求导,利用微积分基本定理得g(f(x))*f'(x)=(x^2e^x)'即f'(x)=(x^2e^x)'于是f(x)=x^2e^x+C.条件f(0)=0得C=0,于是f(x)=x^2e^x.

函数f(x)在区间[0,1]上可导,说明f(x)在区间[0,1]是连续的,必然存在一个点x0在(0,1)内使得f(x0)=[f(0)+f(1)]/2=0.5成立.那么1/f(x0)+1/f(0)=1/0.5+0也成立.

因为 f''(x)>0所以 f'(x)为增函数又有f(0)=0 则f'(x)在(0,1]内单调递增 且f'(x)>0所以命题得证

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